hasancalculusfethi1453.xyz

Çözüm Adımları:

1. Verilen Değerleri Tanımla:
   • İzin verilen eğilme gerilmesi: \( \sigma_{all} = 150 \, \text{MPa} \)
   • İzin verilen kayma gerilmesi: \( \tau_{all} = 110 \, \text{MPa} \)
   • Yayılı yük: \( w = 2.2 \, \text{kN/m} \)
   • Noktasal yük: \( P = 40 \, \text{kN} \)
   • Kiriş açıklıkları: \( L_1 = 4.5 \, \text{m}, \, L_2 = 2.7 \, \text{m} \)
2. Tepki Kuvvetlerini Bul:

   Moment dengesini kullanarak tepki kuvvetlerini bulalım:

   \[ \Sigma M_C = 0 \implies R_A \cdot 7.2 - \left(2.2 \cdot \frac{7.2 \cdot 7.2}{2}\right) - (40 \cdot 2.7) = 0 \]

   Çözüm sonrası:

   \[ R_C = 32.92 \, \text{kN}, \quad R_A = 22.92 \, \text{kN} \]
3. Maksimum Eğilme Momentini Hesapla:

   B noktasındaki maksimum momenti hesaplamak için:

   \[ M_{\text{max}} = \frac{w \cdot L^2}{8} + P \cdot a \]

   Hesaplama sonucu:

   \[ M_{\text{max}} = 23.625 \, \text{kN} \cdot \text{m} \]
4. Minimum Kesit Modülünü Bul:

   Eğilme gerilmesi formülünden \( S_{\text{min}} \) hesaplanır:

   \[ S_{\text{min}} = \frac{M_{\text{max}} \cdot 10^6}{\sigma_{all}} \]

   Sonuç:

   \[ S_{\text{min}} = 157500 \, \text{mm}^3 \]
5. Tablo ile Karşılaştırma:

   En küçük kesit modülünü sağlayan kesiti seçelim:

   • En ekonomik kesit: W200 × 45.7
6. Kayma Gerilmesini Kontrol Et:

   Kayma gerilmesi formülünden \( \tau \) kontrol edilir:

   \[ \tau = \frac{V_{\text{max}}}{d \cdot t_w} \implies \tau = 55.89 \, \text{MPa} \]

   Sonuç: \( \tau_{\text{all}} \) değerini aşmıyor, kesit uygundur.

Çözüm Adımları:

1. Fonksiyonu Sadeleştirme: Verilen fonksiyon \( f(x) = \ln(x^3) \) şeklinde. Logaritmanın özelliklerinden faydalanarak, üstel değeri çarpan olarak dışarı alabiliriz:
   \( f(x) = 3 \ln(x) \)
2. Fonksiyonun Türevi: Artık \( f(x) = 3 \ln(x) \) fonksiyonunu türevleyeceğiz. Türev alırken, sabit bir çarpan olarak 3'ü koruruz ve \( \ln(x) \)'in türevini alırız:
   \( f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{x} \)
3. Sonuç: Türevimizi tamamladıktan sonra, son sonucu yazabiliriz:
   \( f'(x) = \frac{3}{x} \)

Çözüm Adımları:

1. Fonksiyonun Tanımı: Verilen fonksiyon bir kesir formundadır, yani türevini alırken bölüm kuralını kullanacağız. Bölüm kuralına göre, eğer \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \) ise, türev: \[ f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2} \] olur.
   
   Burada: \[ g(x) = \ln(x) \quad \text{ve} \quad h(x) = 1 + \ln(x) \]
2. \( g(x) \) ve \( h(x) \) Fonksiyonlarının Türevleri:
   • \( g(x) = \ln(x) \) olduğundan, türevi: \[ g'(x) = \frac{1}{x} \]
   • \( h(x) = 1 + \ln(x) \) olduğundan, türevi: \[ h'(x) = \frac{1}{x} \]
3. Bölüm Kuralını Uygulama: Artık bölüm kuralını kullanarak türevi bulabiliriz: \[ f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2} \] ifadesini açalım: \[ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot (1 + \ln(x)) - \ln(x) \cdot \frac{1}{x}}{(1 + \ln(x))^2} \]
4. İfadenin Sadeleştirilmesi: Pay kısmını sadeleştirerek devam edelim: \[ f'(x) = \frac{\frac{1 + \ln(x) - \ln(x)}{x}}{(1 + \ln(x))^2} \] \[ f'(x) = \frac{\frac{1}{x}}{(1 + \ln(x))^2} \] \[ f'(x) = \frac{1}{x(1 + \ln(x))^2} \]
5. Sonuç: Türevimiz son haliyle: \[ f'(x) = \frac{1}{x(1 + \ln(x))^2} \]

Çözüm Adımları:

1. Fonksiyonun Türevi için Zincir Kuralı Kullanımı: Bu fonksiyon, iç içe iki fonksiyondan oluşmaktadır: dış fonksiyon \( \ln(u) \) ve iç fonksiyon \( u = \ln(x) \). Bu tip fonksiyonların türevini alırken, zincir kuralı kullanırız. Zincir kuralına göre, \( f(x) = g(h(x)) \) fonksiyonu için türev: \[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \] olur.
   
   Burada:
   • \( g(u) = \ln(u) \) ve \( h(x) = \ln(x) \)
2. Dış Fonksiyonun Türevi \( g(u) = \ln(u) \):
   • \( g(u) = \ln(u) \) olduğundan, türevi: \[ g'(u) = \frac{1}{u} \]
3. İç Fonksiyonun Türevi \( h(x) = \ln(x) \):
   • \( h(x) = \ln(x) \) olduğundan, türevi: \[ h'(x) = \frac{1}{x} \]
4. Zincir Kuralını Uygulama: Artık zincir kuralını kullanarak \( f(x) = \ln(\ln(x)) \) fonksiyonunun türevini bulabiliriz: \[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \] Bu ifadeyi açarsak: \[ f'(x) = \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} \]
5. Sonuç: Türevimiz son haliyle: \[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(x)} \]

Çözüm Adımları:

1. Fonksiyonun Türevi için Zincir Kuralı Kullanımı: Bu fonksiyon, dış fonksiyon \( \ln(u) \) ve iç fonksiyon \( u = \sec(x) + \tan(x) \) olmak üzere iki fonksiyondan oluşmaktadır. Zincir kuralına göre, \( f(x) = g(h(x)) \) fonksiyonu için türev: \[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \] olur.
   
   Burada:
   • \( g(u) = \ln(u) \) ve \( h(x) = \sec(x) + \tan(x) \)
2. Dış Fonksiyonun Türevi \( g(u) = \ln(u) \):
   • \( g(u) = \ln(u) \) olduğundan, türevi: \[ g'(u) = \frac{1}{u} \]
3. İç Fonksiyonun Türevi \( h(x) = \sec(x) + \tan(x) \):
   • \( h(x) = \sec(x) + \tan(x) \) olduğundan, türevini alalım. Burada \( \sec(x) \)'in türevi \( \sec(x)\tan(x) \) ve \( \tan(x) \)'in türevi \( \sec^2(x) \) olarak bilinir: \[ h'(x) = \sec(x) \tan(x) + \sec^2(x) \]
4. Zincir Kuralını Uygulama: Artık zincir kuralını kullanarak \( f(x) = \ln(\sec(x) + \tan(x)) \) fonksiyonunun türevini bulabiliriz: \[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \] Bu ifadeyi açarsak: \[ f'(x) = \frac{1}{\sec(x) + \tan(x)} \cdot (\sec(x) \tan(x) + \sec^2(x)) \]
5. Sonuç: Türevimiz son haliyle: \[ f'(x) = \frac{\sec(x) \tan(x) + \sec^2(x)}{\sec(x) + \tan(x)} \]

Çözüm Adımları:

1. Fonksiyonun Türevi için Zincir Kuralı Kullanımı: Bu fonksiyon, dış fonksiyon \( \ln(u) \) ve iç fonksiyon \( u = \frac{1 + x}{1 - x} \) olmak üzere iki fonksiyondan oluşmaktadır. Zincir kuralına göre, \( f(x) = g(h(x)) \) fonksiyonu için türev: \[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \] olur.
   
   Burada:
   • \( g(u) = \ln(u) \) ve \( h(x) = \frac{1 + x}{1 - x} \)
2. Dış Fonksiyonun Türevi \( g(u) = \ln(u) \):
   • \( g(u) = \ln(u) \) olduğundan, türevi: \[ g'(u) = \frac{1}{u} \]
3. İç Fonksiyonun Türevi \( h(x) = \frac{1 + x}{1 - x} \):
   • \( h(x) = \frac{1 + x}{1 - x} \) olduğundan, bu ifadeyi türevlemek için bölüm kuralını kullanmamız gerekiyor. Bölüm kuralına göre, \( h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \) ise türev: \[ h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \] olur. Burada:
     • \( f(x) = 1 + x \) ve \( g(x) = 1 - x \)
     • \( f'(x) = 1 \) ve \( g'(x) = -1 \)
     Bu ifadeyi yerine koyarsak: \[ h'(x) = \frac{(1) \cdot (1 - x) - (1 + x) \cdot (-1)}{(1 - x)^2} \] \[ h'(x) = \frac{1 - x + 1 + x}{(1 - x)^2} \] \[ h'(x) = \frac{2}{(1 - x)^2} \]
4. Zincir Kuralını Uygulama: Artık zincir kuralını kullanarak \( f(x) = \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) \) fonksiyonunun türevini bulabiliriz: \[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \] Bu ifadeyi açarsak: \[ f'(x) = \frac{1}{\frac{1 + x}{1 - x}} \cdot \frac{2}{(1 - x)^2} \]
5. İfadenin Sadeleştirilmesi: İlk terimi ters çevirip çarptığımızda: \[ f'(x) = \frac{2}{(1 - x)^2} \cdot \frac{1 - x}{1 + x} \] \[ f'(x) = \frac{2(1 - x)}{(1 - x)^2(1 + x)} \] \[ f'(x) = \frac{2}{(1 - x)(1 + x)} \] \[ f'(x) = \frac{2}{1 - x^2} \]
6. Sonuç: Türevimiz son haliyle: \[ f'(x) = \frac{2}{1 - x^2} \]

Çözüm Adımları:

1. Fonksiyonun Türevi için Zincir Kuralı Kullanımı: Bu fonksiyon, dış fonksiyon \( \sqrt{u} = u^{1/2} \) ve iç fonksiyon \( u = \ln(\sqrt{x}) \) olarak iki parçaya ayrılır. Zincir kuralını kullanarak türevi alacağız. Zincir kuralına göre, \( f(x) = g(h(x)) \) fonksiyonu için türev: \[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \] olur.
   
   Burada:
   • \( g(u) = u^{1/2} \)
   • \( h(x) = \ln(\sqrt{x}) \)
2. Dış Fonksiyonun Türevi \( g(u) = u^{1/2} \):
   • \( g(u) = u^{1/2} \) olduğundan, türevini alırken üs kuralını kullanırız: \[ g'(u) = \frac{1}{2} u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \]
3. İç Fonksiyonun Türevi \( h(x) = \ln(\sqrt{x}) \):
   • \( h(x) = \ln(\sqrt{x}) \) olduğundan, logaritma kuralları kullanarak bu ifadeyi sadeleştirebiliriz. \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) olduğundan: \[ h(x) = \ln(x^{1/2}) = \frac{1}{2} \ln(x) \]
   • Şimdi \( h(x) = \frac{1}{2} \ln(x) \) ifadesinin türevini alalım: \[ h'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2x} \]
4. Zincir Kuralını Uygulama: Artık zincir kuralını kullanarak \( f(x) = \sqrt{\ln(\sqrt{x})} \) fonksiyonunun türevini bulabiliriz: \[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \] Bu ifadeyi açarsak: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(\sqrt{x})}} \cdot \frac{1}{2x} \]
5. Sonuç: Türevimizi son haliyle sadeleştirirsek: \[ f'(x) = \frac{1}{4x \sqrt{\ln(\sqrt{x})}} \]

Çözüm Adımları:

1. Fonksiyonun Türevi için Zincir Kuralı Kullanımı: Bu fonksiyon, dış fonksiyon \( e^u \) ve iç fonksiyon \( u = 5 - 7x \) olarak iki parçaya ayrılabilir. Zincir kuralını kullanarak türevini alacağız. Zincir kuralına göre, \( f(x) = g(h(x)) \) fonksiyonu için türev: \[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \] olur.
   
   Burada:
   • \( g(u) = e^u \)
   • \( h(x) = 5 - 7x \)
2. Dış Fonksiyonun Türevi \( g(u) = e^u \):
   • \( g(u) = e^u \) olduğundan, türevi kendisidir: \[ g'(u) = e^u \]
3. İç Fonksiyonun Türevi \( h(x) = 5 - 7x \):
   • \( h(x) = 5 - 7x \) olduğundan, türevi: \[ h'(x) = -7 \]
4. Zincir Kuralını Uygulama: Artık zincir kuralını kullanarak \( f(x) = e^{5 - 7x} \) fonksiyonunun türevini bulabiliriz: \[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \] Bu ifadeyi açarsak: \[ f'(x) = e^{5 - 7x} \cdot (-7) \]
5. Sonuç: Türevimiz son haliyle: \[ f'(x) = -7e^{5 - 7x} \]

Çözüm Adımları:

1. Fonksiyonu Sadeleştirme: Verilen fonksiyonu logaritma özelliklerini kullanarak sadeleştirebiliriz. Logaritmanın çarpma özelliğine göre: \[ f(x) = \ln(3xe^{-x}) = \ln(3) + \ln(x) + \ln(e^{-x}) \] Burada \( \ln(e^{-x}) = -x \) olduğundan: \[ f(x) = \ln(3) + \ln(x) - x \]
2. Fonksiyonun Türevi: Artık \( f(x) = \ln(3) + \ln(x) - x \) fonksiyonunun türevini alabiliriz. Burada:
   • \( \ln(3) \) sabit bir terim olduğundan türevi \( 0 \)’dır.
   • \( \ln(x) \)’in türevi \( \frac{1}{x} \) olur.
   • \( -x \)’in türevi ise \( -1 \) olur.
   Türevi alalım: \[ f'(x) = 0 + \frac{1}{x} - 1 \]
3. Sonuç: Türevimiz son haliyle: \[ f'(x) = \frac{1}{x} - 1 \]

Çözüm Adımları:

1. Fonksiyonu Doğal Logaritma Alarak Sadeleştirme: Fonksiyonu \( f(x) = (x + 1)^x \) şeklinde ifade ettiğimizde, doğal logaritma alarak daha kolay türev alabiliriz: \[ \ln(f(x)) = \ln((x + 1)^x) \] Logaritmanın kuvvet özelliğini kullanarak sağ tarafı sadeleştiririz: \[ \ln(f(x)) = x \ln(x + 1) \]
2. Her İki Tarafın Türevini Alma: Her iki tarafın türevini alalım. Sol tarafı \( f(x) \) cinsinden türevlersek: \[ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx} (x \ln(x + 1)) \]
3. Sağ Tarafın Türevini Alma (Çarpma Kuralı Kullanarak): Sağ taraf \( x \ln(x + 1) \) olduğundan, çarpma kuralını uygulamalıyız. Çarpma kuralına göre, \( u(x) \cdot v(x) \)'nin türevi: \[ \frac{d}{dx} (x \ln(x + 1)) = 1 \cdot \ln(x + 1) + x \cdot \frac{1}{x + 1} \] Bu ifadeyi sadeleştirirsek: \[ = \ln(x + 1) + \frac{x}{x + 1} \]
4. Sonucu \( f'(x) \) için Çözme: Artık \( \frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x + 1) + \frac{x}{x + 1} \) ifadesini elde ettik. \( f(x) \) ile çarparak \( f'(x) \)'i bulalım: \[ f'(x) = f(x) \left( \ln(x + 1) + \frac{x}{x + 1} \right) \] Başlangıçtaki \( f(x) \) ifadesini yerine koyarsak: \[ f'(x) = (x + 1)^x \left( \ln(x + 1) + \frac{x}{x + 1} \right) \]
5. Sonuç: Türevimiz son haliyle: \[ f'(x) = (x + 1)^x \left( \ln(x + 1) + \frac{x}{x + 1} \right) \]

Çözüm Adımları:

1. Fonksiyonu Doğal Logaritma Alarak Sadeleştirme: Fonksiyonu \( f(x) = (\sin x)^x \) şeklinde ifade ettiğimizde, doğal logaritma alarak türevini almayı kolaylaştırabiliriz: \[ \ln(f(x)) = \ln((\sin x)^x) \] Logaritmanın kuvvet özelliğini kullanarak sağ tarafı sadeleştiririz: \[ \ln(f(x)) = x \ln(\sin x) \]
2. Her İki Tarafın Türevini Alma: Her iki tarafın türevini alalım. Sol tarafı \( f(x) \) cinsinden türevlersek: \[ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx} (x \ln(\sin x)) \]
3. Sağ Tarafın Türevini Alma (Çarpma Kuralı Kullanarak): Sağ taraf \( x \ln(\sin x) \) olduğundan, çarpma kuralını uygulamalıyız. Çarpma kuralına göre, \( u(x) \cdot v(x) \)'nin türevi: \[ \frac{d}{dx} (x \ln(\sin x)) = 1 \cdot \ln(\sin x) + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x \] Bu ifadeyi sadeleştirirsek: \[ = \ln(\sin x) + x \cdot \cot x \]
4. Sonucu \( f'(x) \) için Çözme: Artık \( \frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(\sin x) + x \cdot \cot x \) ifadesini elde ettik. \( f(x) \) ile çarparak \( f'(x) \)'i bulalım: \[ f'(x) = f(x) \left( \ln(\sin x) + x \cdot \cot x \right) \] Başlangıçtaki \( f(x) \) ifadesini yerine koyarsak: \[ f'(x) = (\sin x)^x \left( \ln(\sin x) + x \cdot \cot x \right) \]
5. Sonuç: Türevimiz son haliyle: \[ f'(x) = (\sin x)^x \left( \ln(\sin x) + x \cdot \cot x \right) \]

Çözüm Adımları:

1. Fonksiyonu Doğal Logaritma Alarak Sadeleştirme: Fonksiyonu \( f(x) = x^{\sin x} \) şeklinde ifade ettiğimizde, doğal logaritma alarak türevini almayı kolaylaştırabiliriz: \[ \ln(f(x)) = \ln(x^{\sin x}) \] Logaritmanın kuvvet özelliğini kullanarak sağ tarafı sadeleştiririz: \[ \ln(f(x)) = \sin x \cdot \ln(x) \]
2. Her İki Tarafın Türevini Alma: Her iki tarafın türevini alalım. Sol tarafı \( f(x) \) cinsinden türevlersek: \[ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx} (\sin x \cdot \ln(x)) \]
3. Sağ Tarafın Türevini Alma (Çarpma Kuralı Kullanarak): Sağ taraf \( \sin x \cdot \ln(x) \) olduğundan, çarpma kuralını uygulamalıyız. Çarpma kuralına göre, \( u(x) \cdot v(x) \)'nin türevi: \[ \frac{d}{dx} (\sin x \cdot \ln(x)) = (\cos x) \cdot \ln(x) + (\sin x) \cdot \frac{1}{x} \] Bu ifadeyi sadeleştirirsek: \[ = \cos x \cdot \ln(x) + \frac{\sin x}{x} \]
4. Sonucu \( f'(x) \) için Çözme: Artık \( \frac{f'(x)}{f(x)} = \cos x \cdot \ln(x) + \frac{\sin x}{x} \) ifadesini elde ettik. \( f(x) \) ile çarparak \( f'(x) \)'i bulalım: \[ f'(x) = f(x) \left( \cos x \cdot \ln(x) + \frac{\sin x}{x} \right) \] Başlangıçtaki \( f(x) \) ifadesini yerine koyarsak: \[ f'(x) = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln(x) + \frac{\sin x}{x} \right) \]
5. Sonuç: Türevimiz son haliyle: \[ f'(x) = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln(x) + \frac{\sin x}{x} \right) \]

Çözüm Adımları:

1. Fonksiyonu Doğal Logaritma Alarak Sadeleştirme: Fonksiyonu \( f(x) = (\ln x)^{\ln x} \) şeklinde ifade ettiğimizde, doğal logaritma alarak türevini almayı kolaylaştırabiliriz: \[ \ln(f(x)) = \ln((\ln x)^{\ln x}) \] Logaritmanın kuvvet özelliğini kullanarak sağ tarafı sadeleştiririz: \[ \ln(f(x)) = \ln x \cdot \ln(\ln x) \]
2. Her İki Tarafın Türevini Alma: Her iki tarafın türevini alalım. Sol tarafı \( f(x) \) cinsinden türevlersek: \[ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx} (\ln x \cdot \ln(\ln x)) \]
3. Sağ Tarafın Türevini Alma (Çarpma Kuralı Kullanarak): Sağ taraf \( \ln x \cdot \ln(\ln x) \) olduğundan, çarpma kuralını uygulamalıyız. Çarpma kuralına göre, \( u(x) \cdot v(x) \)'nin türevi: \[ \frac{d}{dx} (\ln x \cdot \ln(\ln x)) = \frac{1}{x} \cdot \ln(\ln x) + \ln x \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} \] Bu ifadeyi sadeleştirirsek: \[ = \frac{\ln(\ln x)}{x} + \frac{1}{x} \]
4. Sonucu \( f'(x) \) için Çözme: Artık \( \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\ln(\ln x)}{x} + \frac{1}{x} \) ifadesini elde ettik. \( f(x) \) ile çarparak \( f'(x) \)'i bulalım: \[ f'(x) = f(x) \left( \frac{\ln(\ln x)}{x} + \frac{1}{x} \right) \] Başlangıçtaki \( f(x) \) ifadesini yerine koyarsak: \[ f'(x) = (\ln x)^{\ln x} \left( \frac{\ln(\ln x)}{x} + \frac{1}{x} \right) \]
5. Sonuç: Türevimiz son haliyle: \[ f'(x) = (\ln x)^{\ln x} \left( \frac{\ln(\ln x)}{x} + \frac{1}{x} \right) \]

Çözüm Adımları:

1. İlk Türev Alma: \( y = u^5 + 1 \) olduğundan, \( y \)'nin \( u \) cinsinden türevini alalım: \[ \frac{dy}{du} = 5u^4 \]
2. \( u \)'nun \( x \)'e Göre Türevi: \( u = \sqrt{x} = x^{1/2} \) olduğundan, \( u \)'nun \( x \)'e göre türevini alalım: \[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
3. Zincir Kuralını Uygulama: Zincir kuralına göre \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \) olur. Şimdi yerine koyalım: \[ \frac{dy}{dx} = 5u^4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
4. Sonucu \( x \) Cinsinden Yazma: \( u = \sqrt{x} \) olduğundan, \( u^4 = (\sqrt{x})^4 = x^2 \) olur. Bu ifadeyi yerine koyarsak: \[ \frac{dy}{dx} = 5x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{5x^2}{2\sqrt{x}} \]
5. Son Sadeleştirme: İfadeyi sadeleştirirsek: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{5x^{3/2}}{2} \]

Sonuç:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{5x^{3/2}}{2} \]

Çözüm Adımları:

1. İlk Türev Alma: \( y = u + \frac{1}{\cos u} \) olduğundan, \( y \)'nin \( u \) cinsinden türevini alalım: \[ \frac{dy}{du} = 1 + \frac{d}{du} \left( \frac{1}{\cos u} \right) \] \[ = 1 + \frac{\sin u}{\cos^2 u} \] Bu ifadeyi şu şekilde de yazabiliriz: \[ \frac{dy}{du} = 1 + \frac{\sin u}{\cos^2 u} \]
2. \( u \)'nun \( x \)'e Göre Türevi: \( u = \pi x \) olduğundan, \( u \)'nun \( x \)'e göre türevini alalım: \[ \frac{du}{dx} = \pi \]
3. Zincir Kuralını Uygulama: Zincir kuralına göre \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \) olur. Şimdi yerine koyalım: \[ \frac{dy}{dx} = \left(1 + \frac{\sin u}{\cos^2 u}\right) \cdot \pi \]
4. Sonucu \( x \) Cinsinden Yazma: \( u = \pi x \) olduğundan, son ifadeyi \( x \) cinsinden yazarsak: \[ \frac{dy}{dx} = \pi + \frac{\pi \sin(\pi x)}{\cos^2(\pi x)} \]

Sonuç:

\[ \frac{dy}{dx} = \pi + \frac{\pi \sin(\pi x)}{\cos^2(\pi x)} \]

Çözüm Adımları:

1. İlk Türev Alma (y'yi u Cinsinden Türevleme): \( y = u^v \) olduğundan, bu tür ifadelerde türev alırken üstel fonksiyonun özelliğini kullanmak için doğal logaritma alabiliriz: \[ \ln(y) = u \ln(u) \] Şimdi her iki tarafın türevini alalım: \[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{du} = \ln(u) + \frac{u}{u} = \ln(u) + 1 \] Buradan: \[ \frac{dy}{du} = y \cdot (\ln(u) + 1) = u^v (\ln(u) + 1) \]
2. \( u \)'nun \( v \)'ye Göre Türevi: \( u = 3^v \) olduğundan, \( u \)'nun \( v \)'ye göre türevini alalım: \[ \frac{du}{dv} = 3^v \ln(3) = u \ln(3) \]
3. \( v \)'nin \( x \)'e Göre Türevi: \( v = x^2 + 5 \) olduğundan, \( v \)'nin \( x \)'e göre türevini alalım: \[ \frac{dv}{dx} = 2x \]
4. Zincir Kuralını Uygulama: Zincir kuralına göre, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} \) olur. Şimdi bu ifadeleri yerine koyalım: \[ \frac{dy}{dx} = u^v \cdot \ln(3) \cdot (\ln(u) + 1) \cdot 2x \]
5. Sonucu Yazma: Son ifadeyi sadeleştirerek yazarsak: \[ \frac{dy}{dx} = (3^{x^2 + 5})^{x^2 + 5} \cdot \ln(3) \cdot (\ln(3^{x^2 + 5}) + 1) \cdot 2x \] Bu ifadeyle son sonucu yazabiliriz: \[ \frac{dy}{dx} = (3^{x^2 + 5})^{x^2 + 5} \cdot \ln(3) \cdot (x^2 + 5 + 1) \cdot 2x \]

Sonuç:

\[ \frac{dy}{dx} = (3^{x^2 + 5})^{x^2 + 5} \cdot \ln(3) \cdot (x^2 + 5 + 1) \cdot 2x \]

Çözüm Adımları:

1. İlk Türev Alma (y'yi u Cinsinden Türevleme): \( y = \sin(u) \) olduğundan, \( y \)'nin \( u \) cinsinden türevini alalım: \[ \frac{dy}{du} = \cos(u) \]
2. \( u \)'nun \( v \)'ye Göre Türevi: \( u = \cos(v) \) olduğundan, \( u \)'nun \( v \) cinsinden türevini alalım: \[ \frac{du}{dv} = -\sin(v) \]
3. \( v \)'nin \( x \)'e Göre Türevi: \( v = \ln(x) \) olduğundan, \( v \)'nin \( x \)'e göre türevini alalım: \[ \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x} \]
4. Zincir Kuralını Uygulama: Zincir kuralına göre, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} \) olur. Şimdi bu ifadeleri yerine koyalım: \[ \frac{dy}{dx} = \cos(u) \cdot (-\sin(v)) \cdot \frac{1}{x} \]
5. Sonucu \( x \) Cinsinden Yazma: \( u = \cos(\ln(x)) \) ve \( v = \ln(x) \) olduğundan, bu ifadeleri yerine koyarsak: \[ \frac{dy}{dx} = \cos(\cos(\ln(x))) \cdot (-\sin(\ln(x))) \cdot \frac{1}{x} \]
6. Son Düzenleme: Sonuç olarak: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{\cos(\cos(\ln(x))) \cdot \sin(\ln(x))}{x} \]

Sonuç:

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{\cos(\cos(\ln(x))) \cdot \sin(\ln(x))}{x} \]

Çözüm Adımları:

1. İlk Türev Alma (y'yi u Cinsinden Türevleme): \( y = 2^u \) olduğundan, \( y \)'nin \( u \) cinsinden türevini alalım. Üstel fonksiyonun türevi, tabanın doğal logaritması ile çarpılır: \[ \frac{dy}{du} = 2^u \ln(2) \]
2. \( u \)'nun \( v \)'ye Göre Türevi: \( u = 3^v \) olduğundan, \( u \)'nun \( v \) cinsinden türevini alalım. Aynı üstel fonksiyon türev kuralını burada da uyguluyoruz: \[ \frac{du}{dv} = 3^v \ln(3) \]
3. \( v \)'nin \( x \)'e Göre Türevi: \( v = x \) olduğundan, \( v \)'nin \( x \)'e göre türevini alalım: \[ \frac{dv}{dx} = 1 \]
4. Zincir Kuralını Uygulama: Zincir kuralına göre, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} \) olur. Şimdi bu ifadeleri yerine koyalım: \[ \frac{dy}{dx} = 2^u \ln(2) \cdot 3^v \ln(3) \cdot 1 \]
5. Sonucu \( x \) Cinsinden Yazma: \( u = 3^x \) ve \( v = x \) olduğundan, bu ifadeleri yerine koyarsak: \[ \frac{dy}{dx} = 2^{3^x} \cdot \ln(2) \cdot 3^x \cdot \ln(3) \]

Sonuç:

\[ \frac{dy}{dx} = 2^{3^x} \cdot \ln(2) \cdot 3^x \cdot \ln(3) \]

Çözüm Adımları:

1. İlk Türev Alma (y'yi u Cinsinden Türevleme): \( y = u \) olduğundan, \( y \)'nin \( u \) cinsinden türevi: \[ \frac{dy}{du} = 1 \]
2. \( u \)'nun \( v \)'ye Göre Türevi: \( u = (\sin v)^v \) olduğundan, bu ifadede üstel bir fonksiyon olduğundan dolayı doğal logaritma alarak türevini bulabiliriz: \[ \ln(u) = v \ln(\sin v) \] Her iki tarafın türevini alalım: \[ \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dv} = \ln(\sin v) + v \cdot \frac{\cos v}{\sin v} \] Buradan: \[ \frac{du}{dv} = u \left( \ln(\sin v) + v \cdot \frac{\cos v}{\sin v} \right) \] \( u = (\sin v)^v \) olduğu için: \[ \frac{du}{dv} = (\sin v)^v \left( \ln(\sin v) + v \cdot \frac{\cos v}{\sin v} \right) \]
3. \( v \)'nin \( x \)'e Göre Türevi: \( v = 2^x \) olduğundan, \( v \)'nin \( x \)'e göre türevi: \[ \frac{dv}{dx} = 2^x \ln(2) \]
4. Zincir Kuralını Uygulama: Zincir kuralına göre, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} \) olur. Şimdi bu ifadeleri yerine koyalım: \[ \frac{dy}{dx} = 1 \cdot (\sin v)^v \left( \ln(\sin v) + v \cdot \frac{\cos v}{\sin v} \right) \cdot 2^x \ln(2) \]
5. Sonucu \( x \) Cinsinden Yazma: \( v = 2^x \) olduğundan, bu ifadeyi \( x \) cinsinden yazarsak: \[ \frac{dy}{dx} = (\sin(2^x))^{2^x} \left( \ln(\sin(2^x)) + 2^x \cdot \frac{\cos(2^x)}{\sin(2^x)} \right) \cdot 2^x \ln(2) \]

Sonuç:

\[ \frac{dy}{dx} = (\sin(2^x))^{2^x} \left( \ln(\sin(2^x)) + 2^x \cdot \frac{\cos(2^x)}{\sin(2^x)} \right) \cdot 2^x \ln(2) \]

Çözüm Adımları:

1. İlk Türev Alma (y'yi u Cinsinden Türevleme): \( y = \cos(u) \) olduğundan, \( y \)'nin \( u \) cinsinden türevini alalım: \[ \frac{dy}{du} = -\sin(u) \]
2. \( u \)'nun \( v \)'ye Göre Türevi: \( u = 2^{\sin(v)} \) olduğundan, \( u \)'nun \( v \) cinsinden türevini alalım. Üstel fonksiyonun türevini alırken tabanın logaritmasını kullanacağız: \[ \frac{du}{dv} = 2^{\sin(v)} \cdot \ln(2) \cdot \cos(v) \]
3. \( v \)'nin \( x \)'e Göre Türevi: \( v = x^3 + 1 \) olduğundan, \( v \)'nin \( x \)'e göre türevini alalım: \[ \frac{dv}{dx} = 3x^2 \]
4. Zincir Kuralını Uygulama: Zincir kuralına göre, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} \) olur. Şimdi bu ifadeleri yerine koyalım: \[ \frac{dy}{dx} = -\sin(u) \cdot 2^{\sin(v)} \cdot \ln(2) \cdot \cos(v) \cdot 3x^2 \]
5. Sonucu \( x \) Cinsinden Yazma: \( u = 2^{\sin(x^3 + 1)} \) ve \( v = x^3 + 1 \) olduğundan, bu ifadeleri yerine koyarsak: \[ \frac{dy}{dx} = -3x^2 \cdot \sin(2^{\sin(x^3 + 1)}) \cdot 2^{\sin(x^3 + 1)} \cdot \ln(2) \cdot \cos(x^3 + 1) \]

Sonuç:

\[ \frac{dy}{dx} = -3x^2 \cdot \sin(2^{\sin(x^3 + 1)}) \cdot 2^{\sin(x^3 + 1)} \cdot \ln(2) \cdot \cos(x^3 + 1) \]

Çözüm Adımları:

Verilen Limit:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x - x}{x^3} \]

1. İlk Adımda L'Hôpital Kuralını Uygulama: Pay ve paydanın türevini alalım: \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\cos x - 1}{3x^2} \]
2. İkinci Adımda L'Hôpital Kuralını Uygulama: Elde ettiğimiz ifade hâlâ \(\frac{0}{0}\) belirsizliğinde olduğu için bir kez daha L'Hôpital kuralını uygulayacağız. Pay ve paydanın türevini tekrar alalım: \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{-\sin x}{6x} \]
3. Üçüncü Adımda L'Hôpital Kuralını Uygulama: Bu ifade de \(\frac{0}{0}\) belirsizliğinde olduğu için L'Hôpital kuralını üçüncü kez uygulayacağız: \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{-\cos x}{6} = \frac{-\cos(0)}{6} = \frac{-1}{6} \]
4. Sonucu Bulma: Şimdi \( x \to 0 \) limitini alabiliriz: \[ \frac{-\cos(0)}{6} = \frac{-1}{6} \]

Sonuç:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6} \]

Bu limitin sonucu yine \(-\frac{1}{6}\) olarak bulunur.

Çözüm Adımları (L'Hôpital Kuralı ile):

1. Logaritmayı Sadeleştirme: İlk adım olarak, logaritmayı sadeleştiriyoruz: \[ \ln \left( \frac{1}{\sin x} \right) = -\ln(\sin x) \] Bu durumda limit ifadesi: \[ \lim_{{x \to \frac{\pi}{2}}} \frac{-\ln(\sin x)}{\left( x - \frac{\pi}{2} \right)^2} \]
2. İlk Adımda L'Hôpital Kuralını Uygulama: Belirsizliği çözmek için payın ve paydanın türevini alıyoruz. Payın türevi: \[ \frac{d}{dx} \left( -\ln(\sin x) \right) = -\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = -\cot x \] Paydanın türevi: \[ \frac{d}{dx} \left( \left( x - \frac{\pi}{2} \right)^2 \right) = 2 \left( x - \frac{\pi}{2} \right) \] Böylece limitimiz: \[ \lim_{{x \to \frac{\pi}{2}}} \frac{-\cot x}{2 \left( x - \frac{\pi}{2} \right)} \]
3. İkinci Adımda L'Hôpital Kuralını Uygulama: Bu ifade hâlâ belirsiz durumda, bu yüzden bir kez daha L'Hôpital kuralını uyguluyoruz. Tekrar türev alalım.
   • Payın türevi: \[ \frac{d}{dx} (-\cot x) = \csc^2 x \]
   • Paydanın türevi: \[ \frac{d}{dx} \left( 2 \left( x - \frac{\pi}{2} \right) \right) = 2 \]
   Bu durumda limitimiz şu hale gelir: \[ \lim_{{x \to \frac{\pi}{2}}} \frac{\csc^2 x}{2} \]
4. Sonucu Bulma: \( x \to \frac{\pi}{2} \) limitine giderken \(\csc^2 x\) ifadesi \((\sin x)^{-2}\) olduğu için \(\sin x\) sıfıra yaklaştığından \(\csc^2 x\) sonsuza gider. Dolayısıyla limit: \[ \lim_{{x \to \frac{\pi}{2}}} \frac{\csc^2 x}{2} = \infty \]

Sonuç:

\[ \lim_{{x \to \frac{\pi}{2}}} \frac{\ln \left( \frac{1}{\sin x} \right)}{\left( x - \frac{\pi}{2} \right)^2} = \infty \]

Çözüm Adımları:

1. \( \tan x \)'in Yaklaşımı: \( x \to \frac{\pi}{2}^- \) yaklaşırken \( \tan x \) ifadesini daha iyi incelemek için, \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) ifadesini kullanabiliriz. \( x \to \frac{\pi}{2}^- \) yaklaşırken \( \cos x \) sıfıra yaklaşır ve negatif olur; bu yüzden \( \tan x \) negatif sonsuza gider.
2. Yeni Değişken Tanımlama: Kolaylık açısından \( u = x - \frac{\pi}{2} \) değişkenini yapalım. Bu durumda \( x \to \frac{\pi}{2}^- \) iken \( u \to 0^- \) (negatif taraftan 0'a) yaklaşacaktır. Bu durumda \( x = u + \frac{\pi}{2} \) ve limit şu hale gelir: \[ \lim_{u \to 0^-} u \cdot \tan \left( u + \frac{\pi}{2} \right) \]
3. Trigonometri Özelliği: \( \tan \left( u + \frac{\pi}{2} \right) = -\cot(u) \) özelliğini kullanarak ifadeyi düzenleyelim: \[ \lim_{u \to 0^-} u \cdot \left( -\cot u \right) \]
4. \( u \cdot \cot u \) Limitine Uygulama: \( \cot u = \frac{\cos u}{\sin u} \) olduğundan, ifade şu hale gelir: \[ \lim_{u \to 0^-} -u \cdot \frac{\cos u}{\sin u} \] Bu ifadeyi \( \frac{u}{\sin u} \cdot \cos u \) şeklinde yazabiliriz: \[ = - \lim_{u \to 0^-} \frac{u}{\sin u} \cdot \cos u \]
5. Özel Limiti Kullanma: \( \lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin u} = 1 \) olduğu bilinen bir limit olduğundan, bu ifade: \[ = -1 \cdot \cos(0) \] \[ = -1 \cdot 1 = -1 \]

Sonuç:

\[ \lim_{{x \to \frac{\pi}{2}^-}} \left( x - \frac{\pi}{2} \right) \tan x = -1 \]

Çözüm Adımları:

1. Üstsel İfadeyi Doğal Logaritma ile Sadeleştirme: \(\left( \frac{1}{2} \right)^x\) ifadesini üstel olarak yazabiliriz: \[ \left( \frac{1}{2} \right)^x = e^{x \ln \left( \frac{1}{2} \right)} \] Böylece limit ifadesi şu hale gelir: \[ \lim_{{x \to 0}} \frac{e^{x \ln \left( \frac{1}{2} \right)} - 1}{x} \]
2. Özel Limit Özelliği Kullanma: Burada \(e^u - 1\) formunda bir ifade var, ve \(u = x \ln \left( \frac{1}{2} \right)\). \(\lim_{{u \to 0}} \frac{e^u - 1}{u} = 1\) limitini kullanabiliriz. Bu durumda \(u = x \ln \left( \frac{1}{2} \right)\) olduğundan, ifadeyi şu şekilde yazabiliriz: \[ = \lim_{{x \to 0}} \frac{e^{x \ln \left( \frac{1}{2} \right)} - 1}{x \ln \left( \frac{1}{2} \right)} \cdot \ln \left( \frac{1}{2} \right) \]
3. Sonuç: Şimdi limitimizi uygulayabiliriz \[ = 1 \cdot \ln \left( \frac{1}{2} \right) \] \[ = \ln \left( \frac{1}{2} \right) = -\ln 2 \]

Sonuç:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\left( \frac{1}{2} \right)^x - 1}{x} = -\ln 2 \]

Çözüm Adımları (L'Hôpital Kuralı ile):

1. İlk Adımda L'Hôpital Kuralını Uygulama: Pay ve paydanın türevini alalım.
   • Payın türevi: \[ \frac{d}{dx} \ln(x^2 + 2x) = \frac{1}{x^2 + 2x} \cdot (2x + 2) = \frac{2(x + 1)}{x^2 + 2x} \]
   • Paydanın türevi: \[ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \]
   Bu durumda limit ifadesi şu hale gelir: \[ \lim_{{x \to 0^+}} \frac{\frac{2(x + 1)}{x^2 + 2x}}{\frac{1}{x}} = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{2(x + 1) \cdot x}{x^2 + 2x} \]
2. Sadeleştirme: Çarpımı dağıtalım ve sadeleştirme yapalım: \[ \lim_{{x \to 0^+}} \frac{2(x + 1) \cdot x}{x^2 + 2x} = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{2(x + 1)}{x + 2} \] Sadeleştirdikten sonra ifade: \[ = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{2(x + 1)}{x + 2} \]
3. Sonucu Bulma: Şimdi \( x \to 0^+ \) limitini alalım: \[ = \frac{2(0 + 1)}{0 + 2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Sonuç:

\[ \lim_{{x \to 0^+}} \frac{\ln(x^2 + 2x)}{\ln x} = 1 \]

Bu limitin sonucu 1 olarak bulunur.

Çözüm Adımları:

1. İfadeyi Yeniden Yazma: \[ x^2 e^{-x} = \frac{x^2}{e^x} \] Şimdi bu ifadeyi limit açısından inceleyelim: \[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{x^2}{e^x} \] Bu ifade \(\frac{\infty}{\infty}\) belirsizliği içerdiği için L'Hôpital kuralını uygulayabiliriz.
2. İlk Adımda L'Hôpital Kuralını Uygulama: Pay ve paydanın türevini alalım:
   • Payın türevi: \(\frac{d}{dx} (x^2) = 2x\)
   • Paydanın türevi: \(\frac{d}{dx} (e^x) = e^x\)
   Bu durumda limit ifadesi şöyle olur: \[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{2x}{e^x} \]
3. İkinci Adımda L'Hôpital Kuralını Uygulama: Elde edilen ifade hâlâ \(\frac{\infty}{\infty}\) belirsizliğinde olduğu için L'Hôpital kuralını bir kez daha uygulayalım.
   • Payın türevi: \(\frac{d}{dx} (2x) = 2\)
   • Paydanın türevi: \(\frac{d}{dx} (e^x) = e^x\)
   Bu durumda limit şu hale gelir: \[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{2}{e^x} \]
4. Sonucu Bulma: \(e^x\) ifadesi \(x \to \infty\) limitinde sonsuza gider, bu yüzden: \[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{2}{e^x} = 0 \]

Sonuç:

\[ \lim_{{x \to \infty}} x^2 e^{-x} = 0 \]

Çözüm Adımları:

1. İfadeyi Yeniden Yazma: İfadeyi yeniden yazalım: \[ x^2 \ln x = \frac{\ln x}{\frac{1}{x^2}} \] Şimdi bu ifadeyi limit açısından inceleyelim: \[ \lim_{{x \to 0^+}} \frac{\ln x}{\frac{1}{x^2}} \] Bu ifade \(\frac{-\infty}{\infty}\) formundadır, bu nedenle L'Hôpital kuralını uygulayabiliriz.
2. L'Hôpital Kuralını Uygulama: Pay ve paydanın türevini alalım:
   • Payın türevi: \(\frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x}\)
   • Paydanın türevi: \(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{2}{x^3}\)
   Bu durumda limit ifadesi şöyle olur: \[ \lim_{{x \to 0^+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{2}{x^3}} = \lim_{{x \to 0^+}} -\frac{x^2}{2} = 0 \]

Sonuç:

\[ \lim_{{x \to 0^+}} x^2 \ln x = 0 \]

Çözüm Adımları:

1. Üstsel İfadeyi Logaritma ile Yazma: Limiti daha kolay çözebilmek için ifadenin doğal logaritmasını alalım. Bu limitin sonucunu \( L \) olarak varsayalım: \[ L = \lim_{{x \to 1^+}} x^{\frac{1}{x-1}} \] Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım: \[ \ln L = \lim_{{x \to 1^+}} \frac{1}{x-1} \ln x \]
2. Belirsizlik ve L'Hôpital Kuralını Uygulama: Şimdi bu ifadeye baktığımızda, \( x \to 1^+ \) limitinde \( \ln x \to 0 \) ve \( 1 - x \to 0 \) olduğundan, \( \frac{0}{0} \) belirsizliği oluşur. Bu durumda L'Hôpital kuralını kullanabiliriz.
   • Payın türevi: \[ \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \]
   • Paydanın türevi: \[ \frac{d}{dx} (x - 1) = 1 \]
   L'Hôpital kuralını uygulayarak limit yeniden yazalım: \[ \ln L = \lim_{{x \to 1^+}} \frac{1}{x} = -1 \]
3. Limiti Sonuçlandırma: Şimdi \( x \to 1^+ \) limitini alalım: \[ \ln L = -1 \] Buradan \( L = e^{-1} \) olur.

Sonuç:

\[ \lim_{{x \to 1^+}} x^{\frac{1}{x-1}} = \frac{1}{e} \]

Çözüm Adımları:

1. Üstsel İfadeyi Logaritma ile Yazma: Limiti daha kolay çözebilmek için ifadenin doğal logaritmasını alalım. Limitin sonucunu \( L \) olarak varsayalım: \[ L = \lim_{{x \to \infty}} \left( e^x + x \right)^{\frac{1}{x}} \] Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım: \[ \ln L = \lim_{{x \to \infty}} \frac{\ln(e^x + x)}{x} \]
2. Paydaki İfadeyi İnceleme: \( e^x \) ifadesi \( x \to \infty \) limitinde \( x \)'e göre çok daha hızlı büyür, dolayısıyla \( \ln(e^x + x) \approx \ln(e^x) = x \). Bu durumda limit şu hale gelir: \[ \ln L = \lim_{{x \to \infty}} \frac{x}{x} = \lim_{{x \to \infty}} 1 = 1 \]
3. Sonuçlandırma: \( \ln L = 1 \) olduğuna göre: \[ L = e^1 = e \]

Sonuç:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \left( e^x + x \right)^{\frac{1}{x}} = e \]

Çözüm Adımları:

1. Doğal Logaritmayı Alma: Limitin sonucunu \(L\) olarak varsayalım: \[ L = \lim_{{x \to \infty}} \left( \frac{x+2}{x-1} \right)^x \] Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım: \[ \ln L = \lim_{{x \to \infty}} x \cdot \ln \left( \frac{x+2}{x-1} \right) \]
2. Logaritma İfadesini Sadeleştirme: Şimdi logaritma ifadesini sadeleştirelim: \[ \ln \left( \frac{x+2}{x-1} \right) = \ln(x+2) - \ln(x-1) \] Bu ifadeyi \( x \to \infty \) limitinde incelerken, her iki logaritmayı da \(x\) cinsinden genişletebiliriz: \[ \ln(x+2) = \ln x + \ln \left( 1 + \frac{2}{x} \right) \] \[ \ln(x-1) = \ln x + \ln \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \]
3. Küçük Terimlerin Yaklaşımı: Küçük terimlerin logaritmalarını yaklaşık olarak kullanabiliriz: \(\ln(1 + u) \approx u\) ifadesini uygularsak, \[ \ln \left( 1 + \frac{2}{x} \right) \approx \frac{2}{x} \quad \text{ve} \quad \ln \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \approx -\frac{1}{x} \] Bu durumda, \[ \ln \left( \frac{x+2}{x-1} \right) \approx \frac{2}{x} + \frac{1}{x} = \frac{3}{x} \]
4. Yeni Limiti Yazma: Artık limit şu şekilde ifade edebiliriz: \[ \ln L = \lim_{{x \to \infty}} x \cdot \frac{3}{x} = \lim_{{x \to \infty}} 3 = 3 \] Buradan \( L = e^3 \) sonucunu elde ederiz.

Sonuç:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \left( \frac{x+2}{x-1} \right)^x = e^3 \]

Çözüm Adımları:

1. Doğal Logaritmayı Alma: Bu limitin sonucunu \(L\) olarak varsayalım: \[ L = \lim_{{x \to \infty}} \left(\ln(x)\right)^{\frac{1}{x}} \] Her iki tarafın doğal logaritmasını alarak başlıyoruz: \[ \ln L = \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} \ln(\ln(x)) \]
2. L'Hôpital Kuralını Kullanma: Şimdi, \( x \to \infty \) limitinde \(\frac{1}{x} \ln(\ln(x))\) ifadesi belirsizliğine sahiptir. Bu nedenle L'Hôpital kuralını uygulayabiliriz.
   • Payın türevi: \(\frac{d}{dx} \left(\ln(\ln(x))\right) = \frac{1}{x \ln(x)}\)
   • Paydanın türevi: \(\frac{d}{dx}(x) = 1\)
   L'Hôpital kuralını uyguladığımızda limit şu hale gelir: \[ \ln L = \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x \ln(x)} \]
3. Sonucu Bulma: \( x \to \infty \) limitinde \( \frac{1}{x \ln(x)} \) ifadesi sonsuza gider, bu nedenle \[ \ln L = 0 \] Buradan \( L = e^0 = 1 \) sonucuna ulaşırız.

Sonuç:

\[ \lim_{{x \to \infty}} \left(\ln(x)\right)^{\frac{1}{x}} = 1 \]